ա) Քանի որ եռանկյան ամենամեծ կողմը AB-ն է հետևաբար ամենամեծ անկյունը C-ն է, այդպիսով A անկյունը չի կարող լինել բութ։

բ) Քանի որ եռանկյան ամենամեծ կողմը BC-ն է հետևաբար ամենամեծ անկյունը A-ն է, այդպիսով A անկյունը կարող լինել բութ։

ա) Քանի որ A-ն ամենամեծ անկյունն է։ Իր դիմաց ընկած է ամենամեծ կողմը BC-ն։

բ) Քանի որ ∠B=∠C հետևաբար ABC եռանկյունը հավասարասրուն է։ Հետևաբար BA-ն = BC։

Քանի որ ABC-ն հավասարասրուն է ∠A = ∠C հետևաբար ∠1=∠2։ AO-ն = OC: AC ընթանուր կողմ է։

MN || BC հետևաբար

∠AMN =∠ABC

⇛ AMN եռանկյունը հավասարաասրուն է։

BD || AC ⇛ < ∠C = ∠CBD խաչադիր անկյուն

Եթե BD կիսորդ

ա) ∠C=180^o — 65^o — 57^o= 58^o

բ) ∠C=180^o — 24^o — 130^o= 26^o

գ) ∠C=180^o — a — 2a=180^o-3a

դ) ∠C=180^o — (60 ^o+ a) — (60^o — a)=180^o-60^o-a-60^o+a=180^o-120^o=60^o

2+3+4=9

180:9=20

2*20: 3*20 : 4*20= 40 : 60 : 80

∠A= 40, ∠B=60,

Որոնք գտնվում են նույն հարթության վրա և չեն հատվել:

Այդ անկյունները կոչվում են խաչադիր անկյուներ։

Դիցուք՝ a և b զուգահեռ ուղիղների նկատմամբ MN-ը հատող է։ Ապացուցենք, որ խաչադիր անկյունները, օրինակ՝ 1-ը և 2-ը, հավասար են։ Ապացուցենք, որ, օրինակ՝ ∠1 + ∠4 = 180^o։ Քանի որ a||b ապա 1 և 2 համապատասխան անկյունները հավասար են։ Անկյուններ 2-ը և 4-ը կից են ուստի ∠2+∠4=180^o: ∠1=∠2 և ∠2+∠4=180^o հավասարություններից ⇛, որ ∠1 + ∠4 = 180^o։

Դիցուք՝ a և b զուգահեռ ուղիղների նկատմամբ c-ն հատող է։ Ապացուցենք, որ համապատասխան անկյուննները, օրինակ՝ 1-ը և 2-ը հավասար են։ Քանի որ a || b, ապա խաչադիր անկյունները 1-ը և 3-ը հավասար են։ Անկյուններ 2-ը և 3-ը՝ որպես հակադիր անկյուններ, ևս հավասար են։ ∠1 = ∠3 ̈ ∠2 = ∠3 հավասարությունից ⇛, որ ∠1 = ∠2:

Դիցուք՝ a և b ուղիղները c հատորով հատողով հատելիս միակողմանի անկյունների գումարը 180^o է, օրինակ՝ ∠1 + ∠4 = 180^o։ Քանի որ 3-ը և 4-ը կից անկյուններ են, ապա ∠3 + ∠4 = 180^o։ Այս երկու հավասարություներից հետևում են, որ խաչադիր անկյուններ 1-ը և 3-ը հավասար են։ Հետևաբար a և b ուզիզները զուգահեռ են։

Քանոնով կամ geogebra ծրագրով։

Աքսիոմա կոչվում են այն պնդումներն որոնք, կամ չի լինում բատրել, կամել անիմաստ է բացատրել։ Աքսիոմայի օրինակ՝ եթե ուղիղը հատում է երկու զուգահեռ ուղղիղներից մեկը, ապա այն հատում է նաև մյուսը։

Աքսիոմա. եթե ուղիղը հատում է երկու զուգահեռ ուղղիղներից մեկը, ապա այն հատում է նաև մյուսը։

Հետևանք կոչվում է այն պնդումը վորին հասսել ենք, (սահմանումներով, բանաձևերով) գործողություն անելուց հետո հասել ենք այդ հետևությանը։

ա) ∠1 և ∠4 կից ⇛ ∠1 + ∠4=180^∘⇛ ∠4=180^∘-37^∘=143^∘

∠7 և ∠8 կից ⇛ ∠7+∠8=180^∘⇛ ∠8=180^∘-143^∘⇛ ∠8=37^∘

⇛ ∠4 և ∠8 միակողմանի ⇛ ∠4 + ∠8=180^∘⇛ 37^∘+143^∘=180^∘ ⇛a || b

բ) ∠1 և ∠3 հակադիր ⇛ ∠1=∠3

∠1=∠3|

∠1=∠6|

⇛ ∠3=∠6 ⇛ a || b

գ) ∠1 և ∠3 հակադիր ⇛ ∠1=∠3

∠7=3∠8⇛∠7=3x ∠8=x  3x+x=180 

4x=180  x=45 ⇛ ∠8=45^∘

∠8=45^∘ և ∠3=45^∘⇛ ∠8=∠3 ⇛ a || b

∠1=∠2

∠3=∠4

∠2=∠3 հակադիր ∠

∠1 =∠4 խաչադիր ∠

⇛ AB || DE

AB n CD ընդհանուր միջնակետում ⇛ AO =OB = CO=OD ⇛ ∠A=∠B=∠C=∠D ⇛ ∠C=∠D ⇛ AC||DB

AB=BC⇛ ∠A=∠C⇛CB || AD

AB= BC 

AD =DE 

∠A=∠C= 70^∘ ∠A=∠BAE+35^∘

∠BAE=70-35=35^∘

∠DEA=∠EAC=35^∘ խաչադիր ∠-ներ են ⇛ DE||AC

210^∘:2=105^∘

խաչադիր ∠ =105^∘

x+32+x=180

2x=180-32

2x=148

x=74⇛ ∠1 =74^∘, ∠2=106^∘

BC=DE⇛ ∠A=∠DCE ⇛ AB || CD

BM=KM ⇛ ∠KBM= ∠BKM ⇛ KM||AB

CK կիսորդ ⇛ ∠BCK=∠KCE=40^∘

∠A=∠KCE ⇛ AB||KC

BC կիսորդ ⇛ ∠CBD=70^∘

∠BCA=180^∘-(∠ABC+∠A )⇛ ∠BCA=180^∘-(70^∘+40^∘)= 70^∘

∠BCA և ∠ CBD= 70^∘⇛ AC||BD

1. ABC եռանկյան պարագիծը 18 սմ է: BC կողմը AB կողմից մեծ է 2 սմ-ով, իսկ AB կողմը AC կողմից փոքր է 1 սմ-ով: Գտնել ABC եռանկյան կողմերը

Ab=7

Ac=6

Bc=5

2. Նկարում ∠ BCA= ∠ CAD և ∠ BAC= ∠DCA: Հավասար են արդյոք ABC ADC եռանկյունները:

Այո հավասար են

3. AKM եռանկյան մեջ ∠ K=36⁰ , AK=KM : Գտնել եռանկյան M անկյունը:

m=36⁰

4. ABC եռանկյան մեջ ∠ A= 42⁰ : Գտնել եռանկյան B անկյունը:

5. A և B կետերը O կենտրոնով շրջանագծի վրա են։ Գտեք OAB անկյունը, եթե OBA անկյունը 43^o է։

6. Եռանկյունը, որի պարագիծը 24 սմ է, բարձրությամբ բաժանվել է երկու եռանկյան, որոնց պարագծերը 12սմ և 20սմ են։ Գտեք բարձրության երկարությունը։

7. Տրված է՝ MN=7սմ,  ∠ ONM=60°։ Գտի՛ր՝  KN-ը։

1․Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում  հավասարասրուն։

Եռանկյունը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա երկու կողմերը հավասար են:

2․ Ինչպե՞ս են կոչվում հավասարասրուն եռանկյան կողմերը։

Հավասարասրուն եռանկյան հավասար կողմերը կոչվում են սրունքներ, իսկ երրորդ կողմը՝ հիմք: 

3․ GEOGEBRA ծրագրով գծիր  հավասարասրուն եռանկյուն։

4․Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում  հավասարակողմ։

Եթե եռանկյան բոլոր երեք կողմերը հավասար են, ապա եռանկյունը կոչվում է հավասարակողմ:

5․ GEOGEBRA ծրագրով գծիր  հավասարակողմ եռանկյուն։

6․GEOGEBRA ծրագրով գծիր  հավասարասրուն եռանկյուն և տանել նրա միջնագիծը։

7․ Թվարկել հավասարասրուն եռանկյանը բնորոշ հատկությունները։

1) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

2) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված կիսորդը նաև միջնագիծ է և բարձրություն:

3) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը նաև կիսորդը է և բարձրություն:

4) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը նաև կիսորդ է և միջնագիծ:

5) Եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են , ապա եռանկյունը հավասարասրուն է։

8․Լուծել խնդիրը

Այո, հավասարասրուն է։

9․Լուծել խնդիրը․

10․Լուծել խնդիրը․

37-4=33

33։3=11

11+4=15

11․ Լուծել խնդիրը․

15×3=45

P=45 սմ

12․ Լուծել խնդիրը․

60:3=20

P=20 դմ

13․Լուծել խնդիրը․

14․Լուծել խնդիրը․

45-9=36

36:2=18

18, 18, 9

1,Ո՞ր պատկերն է կոչվում եռանկյուն։

Եռանկյուն կոչվում են այն երկրաչափական պատկերը, որը կազմված է երեք միևնույն գծի վրա չգտնվող կետերից և երեք հատվածներից։

2․ Ո՞րն է եռանկյան միջնագիծը, միջնակետը։

Միջնակետը հատվածը բաժանում է երկու հավասար մասերի։

3․ GEOGEBRA ծրագրով գծել եռանկյուն և տանել նրա միջնագիծը։

4․Ո՞րն է եռանկյան կիսորդը։

Եռանկյան կիսորդ անվանում են իր կեսը։ Եռանկյուն ունի երեք անկյուն հետևաբար կարելի է կազմել երեք կիսորդ։

5․GEOGEBRA ծրագրով գծել եռանկյուն և տանել նրա կիսորդը։

6․Ո՞րն է եռանկյան բարձրությունը։

Եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն:

7․GEOGEBRA ծրագրով գծել եռանկյուն և տանել նրա բարձրությունը։

8․Քանի՞ միջնագիծ,կիսորդ,բարձրություն ունի ցանկացած եռանկյունը։

Երեք

9․Ո՞րն է եռանկյան միջնագծերի, կիսորդների և բարձրությունների նշանավոր հատկությունը։

1) Յուրաքանչյուր եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում:

2) Յուրաքանչյուր եռանկյան կիսորդերը հատվում են մի կետում:

3) Յուրաքանչյուր եռանկյան բարձրությունները կամ նրանց շարունակությունները հատվում են մի կետում:

10․GEOGEBRA ծրագրով գծել բութանկյուն եռանկյուն և նրա սուր անկյունից տանել բարձրություն։

11․ABC եռանկյան AD միջնագիծը շարունակված է BC-ի մյուս կողմում DE հատվածով, որը հավասար է AD-ին, իսկ E կետը միացված է C կետին: Ապացուցեք, որ  ∆ ABD= ∆ ECD: 

1. GEOGEBRA ծրագրով գծեք a ուղիղ, նշեք որևէ  կետ ուղղի վրա, նշեք որևէ  կետ ուղղից դուրս։

2. GEOGEBRA ծրագրով գծեք a ուղիղ, նշեք այնպիսի  կետ ուղղի վրա, նշեք այնպիսի  կետ ուղղից դուրս, որ այդ երկու կետերը միացնող ուղիղը ուղղահայց լինի a-ին։

3. Ի՞նչ եք հասկանում երկու փոխուղղահայաց ուղղիղներ ասելով, բացատրեք։GEOGEBRA ծրագրով ցույց տվեք։

4. Ի՞նչ է նշանակում կետից ուղղին տարված ուղղահայց։ GEOGEBRA ծրագրով ցույց տվեք

5. Ուղղի վրա չգտնվող կետից քանի՞ ուղղահայաց կարելի է տանել, ձևակերպեք թեորեմը։

6. GEOGEBRA ծրագրով գծեք a ուղիղ, այդ ուղղից դուրս նշեք երեք կետ՝ A, B, C: Յուրաքանչյուր կետով տարեք a ուղղին ուղղահայաց։

7. GEOGEBRA ծրագրով գծեք a ուղիղ, այդ ուղղի  տարբեր կողմերում նշեք A, B կետերը: Յուրաքանչյուր կետով տարեք a  ուղղին ուղղահայաց։
8. A և C կետերը գտնվում են a ուղղի միևնույն կողմում,  a ուղղին  տարված AB և CD ուղղահայացները հավասար են:
Ապացուցեq, որ ABD և CDB եռանկյունները հավասար են: 

 9. Ո՞ր կետն է B կետից CD ուղղին տարված ուղղահայացի հիմքը։

10. Կրկնողություն։ Ձևակերպեք երկու եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշը, GEOGEBRA ծրագրով ցույց տվեք։

1. Ի՞նչ է թեորեմը, ի՞նչ է թեորեմի ապացույցը։

Յուրաքանչյուր պնդում, որի ճշմարտի լինելը հաստատվում է դատողությունների միջոցով, մաթեմատիկայում անվանում են թեորեմ։ Այդ դատողություններն էլ կոչվում են թեորեմի ապացույց։

2. Ի՞նչ է նշանակում երկու պատկերներ իրար հավասար են։ Գծիր երկու հավասար պատկերներ։

Երկու եռանկյուններ կոչվում են հավասար, եթե վերադրումով (իրար վրա դնելով) դրանք կարող են համընկնել, այսինքն՝  համընկնում են բոլոր կողմերը և բոլոր անկյունները:

3. Ե՞րբ կասենք, որ երկու եռանկյուններ իրար հավասար են։

Երբ իրար վրա դնում ենդ ու անկյուները իրար վրա են լինում։

4․ GEOGEBRA ծրագրով գծեք երկու եռանկյուններ այնպես, որ լինեն իրար հավասար։ Նշեք համապատասխան հավասար կողմերը, հավասար անկյունները։

5. GEOGEBRA ծրագրով գծեք ABC եռանկյուն:

Նշեք AB կողմի դիմացի անկյունը, ո՞ր անկյուն է։vnn
Նշեք BC  կողմի դիմացի անկյունը, ո՞ր անկյուն է։
Նշեք AC կողմի դիմացի անկյունը, ո՞ր անկյուն է։

6. Գրեք եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշը։

ABC եռանկյան AB կողմը հավասար է 17սմ, AC կողմը կրկնակի մեծ է AB կողմից, իսկ BC կողմը 10սմ-ով փոքր է AC կողմից: Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը:

Եռանկյուններից մեկի պարագիծը մեծ է մյուս եռանկյան պարագծից։ Կարո՞ղ են հավասար լինել այդ եռանկյունները։

Եռանկյուններից մեկի պարագիծը հավասար է մյուս եռանկյան պարագծին։ Կարո՞ղ ենք պնդել, որ հավասար են այդ եռանկյունները։

Ունենք եռանկյուն АBD և եռանկյուն ADC, ընդ որում АB=AC, <1=<2, տես նկարը: Oգտվելով եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշից, ցույց տուր որ եռանկյուն АBD և եռանկյուն ADC իրար հավասար են։

1. Ո՞ր պատկերն է կոչվում եռանկյուն։

Եռանկյունը այն երկրաչափական պատկերն է, որն կազմված է միևնույն ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող երեք հատվածներից:

2. Ո՞ր եռանկյունն  է կոչվում սուրանկյուն  եռանկյուն, GEOGEBRA ծրագրով գծիր։ Կապույտով նշիր սուր անկյունները։

3. Ո՞ր եռանկյունն  է կոչվում բութանկյուն  եռանկյուն, GEOGEBRA ծրագրով գծիր։ Նշիր բութ անկյունը։

4. Ո՞ր եռանկյունն  է կոչվում   հավասարակողմ եռանկյուն, GEOGEBRA ծրագրով գծիր։ Նշիր հավասար կողմերը։

5. Ո՞ր եռանկյունն  է կոչվում ուղղանկյուն  եռանկյուն, GEOGEBRA ծրագրով գծիր։ Նշիր էջերը, ներքնաձիգը։

6. Ո՞ր եռանկյունն  է կոչվում հավասարասրուն  եռանկյուն, GEOGEBRA ծրագրով գծիր։ Նշիր սրունքները, հիմքը։

7. Հավասարասրուն եռանկյան կողմերն են 5սմ, 3սմ։ Գտեք եռանկյան պարագիծը։ Նայել բոլոր հնարավոր դեպքերը։

5+5+3=13

P=13

8.Եռանկյան պարագիծը 48սմ է, իսկ կողմերից մեկը՝ 18: Գտեք մյուս երկու կողմերը, եթե նրանց տարբեությունը 2Է։

16, 14, 18

9.ABC եռանկյան   AB կողմը հավասար է  17սմ,  AC  կողմը կրկնակի մեծ է  AB  կողմից, իսկ  BC կողմը   10 սմ-ով փոքր է    AC կողմից։ Գտեք    ABC եռանկյան պարագիծը։

(AB) 17×2=34 (AC)

(AC) 34-10=24 (BC)

(AB) 17+(AC) 34+(BC) 24=(ABC P)=75

10․ Գտեք եռանկյան կողմերը, եթե հարաբերում են ինչպես 3:4:5, իսկ եռանկյան պարագիծը 120սմ  է։

3+4+5=12

120:12=10

3×10=30

4×10=40

5×10=50

=30:40:50